Lisansüstü Programı Ders Listesi

Zorunlu Bölüm Dersleri

Seçmeli Dersler

Diğer Bölümlerden Alınan Servis Dersleri



Zorunlu Bölüm Dersleri

MATH500 - Mezuniyet Projesi
Konuya giriş. Bilgi kaynaklarının bulunması. Yeni tanım ve kavramların çalışılması. Teorik altyapının öğrenilmesi. Konuya ilişkin örneklerin verilmesi ve konuyla ilgili problemlerin çözümü. Modern metin biçimleri (TEX, Word, WordScientific, vs) kullanılarak konunun bilgilendirici ve bilimsel bir tarzda sunumu. Raporun danışmana teslimi. Raporun sunumu.

MATH541 - Cebir
Gruplar: faktör grubu, izomorfizma teoremleri, sonlu üreteçli değişmeli gruplar, grup etkisi, Sylow teoremleri, nilpotent ve çözülebilir gruplar; halkalar: halka homomorfizmaları, idealler, değişmeli halkalarda çarpanlarına ayırma, bölüm halkası, polinom halkaları; modüller: sağın diziler, vektör uzayları, tensör çarpımları, cisimler: cisim genişlemeleri, Galois teorisinin temel teoremi, parçalanış cisimleri, bir polinomun Galois grubu.

MATH587 - Uygulamalı Matematik
Varyasyonlar Hesabı: Euler-Lagrange denklemi, birinci ve ikinci varyasyonlar, ekstrema için gerek ve yeter koşullar, Hamilton prensibi ve Sturm-Liouville problemlerine ve mekaniğe uygulamalar; integral denklemler: Fredholm ve Volterra integral denklemleri, Green fonksiyonu, Hilbert-Schmidt teorisi, Neumann serisi ve Fredholm teorisi ve uygulamalar.

MATH589 - Mezuniyet Semineri
Yüksek lisans öğrencileri ve davetli konuşmacılar tarafından verilen güncel araştırmaları içeren sunum.

MATH597 - Yüksek Lisans Tezi

Seçmeli Dersler

MATH521 - Sayısal Analiz I
Matris ve vektör normları, hata analizi, lineer denklem sistemlerinin çözümü: Gauss eliminasyonu ve LU ayrışımı, kondisyon sayısı, kararlılık analizi ve hesaplama karmaşıklığı; en küçük kareler problemleri: tekil değer ayrışımı, QR algoritması, kararlılık analizi; matris özdeğer problemleri; lineer sistemler için yinelemeli yöntemler: Jacobi, Gauss-Seidel ve SOR yöntemleri, eşlenik gradient türü yöntemler, yakınsaklık analizi.

MATH522 - Sayısal Analiz II
Lineer olmayan denklemler ve denklem sistemlerini için yinelemeli yöntemler, interpolasyon ve yaklaştırım: polinom, trigonometrik ve spline interpolasyonu; en küçük kareler ve minimax yaklaştırımı; sayısal türev ve integrasyon: Newton-Cotes, Gauss, Romberg yöntemleri, ekstrapolasyon, hata analizi.

MATH524 - Kısmi Diferansiyel Denklemler için Sonlu Fark Metodları
Sonlu fark metodu, parabolik denklemler: açık ve kapalı metotlar, Richardson, Dufort-Frankel ve Crank-Nicolson yöntemleri; hiperbolik denklemler: Lax-Wendroff, Crank-Nicolson, kutu ve leap-frog yöntemleri; eliptik denklemler: kısmi diferansiyel denklemlerin sonlu fark metotları ile sayısal çözümlerinde tutarlılık, kararlılık ve yakınsaklık.

MATH542 - Cebirsel Sayılar Kuramı
Tamsayı, norm ve iz fonksiyonları, diskriminant, cebirsel sayılar, kuadratik sayı cismi, Dedekind bölgesi, değerleme, Dedekind bölgesinin genişlemesinde çatallanma, different, Galois genişlemesinde çatallanma, kuadratik sayı cisimlerinde çatallanma ve aritmetik, kuadratik kalanlar kuralı, siklotomik sayı cisimlerinde çatallanma, abelyen genişlemelerde Kronecker-Weber teoremi, Dirichlet teoremi (sınıf grubunun sonlu olması ile ilgili), Dirichlet teoremi (tersinir elemanlar ile ilgili), Hermite-Minkowski teoremi, son Fermat teoremi.

MATH543 - Grup Teori I
Temel düzey grup teorinin tekrarı, matris grupları, bir grubun normal kapanışı ve çekirdeği, kümeler üzerinde grup etkisi, permutasyon gruplarının wreath çarpımı, bir grubun ayrıştırılması, seriler ve bileşim serileri, zincir koşulları, bazı basit gruplar, Sylow teoremleri, projektif özel lineer grupların basitliği, çözülebilir ve nilpotent gruplar, lokal sonlu gruplar, lokal nilpotent gruplar.

MATH545 - Kimlik Denetimini Sağlayan Kriptografik Algoritmalara Giriş
Kriptografinin temelleri, blok tipi algoritmalar, DES, AES yarışması, kimlik denetimi, kullanım modları, kriptografik özet fonksiyonlar, çakışma direnci, doğum günü atağı, Merkle Damgard yapısı, MD5, SHA-1, SHA-3 yarışması, Keccak, kimlik denetimi ve şifreleme, CAESAR yarışması, kriptanalizde başarı olasılıkları, LLR yöntemi, hipotez testi, rastgelelik testi.

MATH547 - Cebirsel Geometri
Afin uzayları, Hilbert’in baz ve sıfırlama teoremleri, Zariski topoloji, indirgenemez kümeler, cebirsel varyeteler, eğriler, yüzeyler, balyalar, halkalı uzaylar, ön şema, afin şema, afin şemalar ve değişmeli halkalar arasındaki denklik, projektif varyeteler, boyut, tekil noktalar, bölenler, diferensiyeller.

MATH555 - Bernstein polinomları
Düzgün süreklilik, düzgün yakınsaklık, Bernstein polinomları, Weierstrass yaklaşım teoremi, pozitif lineer operatörler, Popoviciu teoremi, Voronovskaya teoremi, eş zamanlı yaklaşım, şekil koruyucu özellikleri, De Casteljau algoritması, karmaşık Bernstein polinomları, Kantorovich polinomlar.

MATH556 - Uygulamalı Fonksiyonel Analiz
Fonksiyonel analizin temel kavramları tekrarı, Hilbert uzayında kendine eş operatörlerin spektral teorisi, operatörlerin yarı-grupları  ve evrim denklemlerine uygulamaları, Banach uzaylarında optimal kontrol. 

MATH562 - Diferansiyel Denklemler Teorisi
BDP: çözümlerin varlık ve tekliği, sürdürülebilirliği, parametreye bağlı olarak sürekliliği; lineer sistemler: sabit ve değişken katsayılı lineer homojen(olmayan) sistemler; periyodik katsayılı sistemlerin çözümlerinin yapısı, yüksek basamaktan lineer diferansiyel denklemler, Sturm teorisi, kararlılık: Lyapunov tipi kararlılık(Kararsızlık). Lyapunov fonksiyonları; Lyapunov'un ikinci metodu; yarı doğrusal sistemler; doğrusallaştırma; denge noktasının kararlılığı ve otonom olmayan diferansiyel denklemler için kararlı manifold teoremi.

MATH563 - Fark Denklemleri
Fark analizi, birinci mertebeden lineer fark denklemi, ikinci mertebeden lineer fark denklemi, ayrık Sturm teorisi, Green fonksiyonu, ayrık Riccati denklemi, salınım teorisi, ayrık Sturm-Liouville özdeğer problemi, yüksek mertebeden lineer fark denklemleri, fark denklem sistemleri.

MATH564 - İmpalsif Diferansiyel Denklemler
İmpalsif diferansiyel denklemlerin (İDD)genel tanımı, sabit zaman impalslı sistemler, değişken zaman impalslı sistemler, süreksiz dinamik sistemler, çözümlerin genel özellikleri, çözümlerin kararlılığı, eşlenik sistemler, Perron teoremi, İDD’e lineer Hamilton sistemleri, direk Lyapunov metod, periyodik ve hemen hemen periyodik İDD sistemler, homojen olmayan lineer sistemlerin sınırlı çözümleri, yarı lineer sistemlerin integral kümeleri.

MATH565 - Zaman Skalasında Dinamik Sistemler
Zaman skalasında diferensiyelleme, zaman skalasında integralleme, zaman skalasında birinci mertebeden lineer diferensiyel denklemler, başlangıç değer problemi, zaman skalasında üstel fonksiyonlar, zaman skalasında ikinci mertebeden lineer diferensiyel denklemler, sınır değer problemi, Green fonksiyonu, Sturm-Liouville özdeğer problemi.

MATH571 - Topoloji
Topolojik uzaylar, homeomorfizmler ve homotopi, çarpım ve bölüm topolojileri, ayırma aksiyomları, kompaktlık, bağlantılılık, metrik uzaylar ve metriklenebilirlik, örtü uzayları, temel gruplar, Euler karakteristik, yüzeylerin sınıflandırılması, yüzeylerin homolojileri, geometri ve analize örnek basit uygulamalar.

MATH572 - Diferansiyellenebilir Çokkatlılar
Topolojik çokkatlılar, diferansiyellenebilir çokkatlılar, teğet ve koteğet demetler, bir dönüşümün diferansiyeli, vektör alanları, altçokkatlılar, tensörler, diferansiyel formlar, bir çokkatlıların üzerinde yönlendirme, çokkatlılar üzerinde integral, Stokes teoremi.

MATH573 - Cebirsel Topoloji
Temel grup, örtü uzayları, singüler homoloji, hücresel homoloji, simpleksel homoloji, kohomoloji, homoloji ve kohomoloji için evrensel katsayı teoremleri, Künneth formülü, kap çarpım ve çapraz çarpım.

MATH574 - Riemannian Geometri
Türevlenebilir manifoldların tekrarı, tensör alanları, Riemannian metrikler, Levi-Civita konveksiyonu, jeodezikler ve üstel gönderim, eğrilik tensörü, kesitsel eğrilik, Ricci tensör, sayısal eğrilik, Riemannian altmanifoldları, Gauss ve Codazzi denklemleri.

MATH575 - Çokkatlılar üzerinde Analiz
Öklit uzayları, çokkatlılar, teğet uzayları, vektör alanları, diferansiyel formlar, çok katlılar üzerinde integral, Stokes teoremi.

MATH576 - Diferansiyel Topoloji
Çokkatlılar ve diferansiyellenebilir yapılar, teğet uzay, vektör demetleri, daldırmalar, altdaldırmalar, gömmeler, dik kesişim, Sard Teoremi, Whitney gömme teoremi, üstel dönüşüm ve borusal komşuluklar, sınır bileşenli çokkatlılar, Thom dik kesişim teoremi.

MATH577 - Düşük Boyutlu Topolojiye Giriş
Düğümler, bağlar ve onların değişmezleri, Seifert yüzeyler, örgüler, gönderim sınıf grubları, Heegaard parçalanması, lens uzayları, yüzey homeomofizmaları, üç boyutlu çokkatlıların ameliyatı, dallanmış örtüler.

MATH580 - Özel Çalışmalar I
Şeçilen konu ile ilgili literatür taraması yapılması. Şeçilen konu hakkında literatürdeki son gelişmelerin öğrenilmesi. Çalışma ile ilgili bir rapor hazırlanması ve sunulması.

MATH581 - Özel Çalışmalar II
Şeçilen konu ile ilgili literatür taraması yapılması. Şeçilen konu hakkında literatürdeki son gelişmelerin öğrenilmesi. Çalışma ile ilgili bir rapor hazırlanması ve sunulması.

MATH582 - Yaklaştırım Teorisi
Düzgün yakınsaklık, düzgün yaklaşım, Weierstrass yaklaşım kuramları, en iyi yaklaşım, Chebyshev polinomları, süreklilik miktarı, yakınsaklık oranı, Jackson'ın kuramları, pozitif doğrusal işlemciler, Korovkin'in kuramı, Müntz kuramları

MATH584 - Uygulamalı Matematikte Doğrusal olmayan Problemler
Sonlu aralıkta, doğrusal olmayan ikinci mertebeden diferansiyel denklemler için sınır değer problemleri, doğrusal olmayan sınır değer probleminin sabit nokta problemine indirgenmesi, Banach ve Schauder sabit nokta teoremlerinin uygulamaları, doğrusal olmayan fark denklemleri için sınır değer problemler, Brouwer sabit nokta teoreminin uygulaması, doğrusal olmayan sınır değer problemlerinin pozitif çözümleri.

MATH585 - Matematiksel Modelleme
Birinci mertebeden diferansiyel denklemler ile modelleme: radyoaktiflik, büyüme ve çürüme hızı, tek-tür populasyon modelleri, ısı akışkan modeli, RL ve RC elektrik devrelerini modelleme; ikinci mertebeden DD ile modelleme: elastik bir yaya bağlı kütlenin hareketi, RLC elektrik devrelerini modelleme, difüzyon modelleri; DD sistemleri ile modelleme: çok-tür populasyon modelleri, bir elektrik ağı modeli; kısmi DD ile modelleme: titreşen sicim, titreşen zar, ısı akışı modeli.

MATH591 - Analitik Olasılık Teorisi
Olasılığın tanımı ve temel özellikleri, koşullu olasılık ve bağımsızlık, rasgele değişkenler, olasılık dağılımları ve çeşitleri, klasik dağılımlar, momentler, rasgele vektörler, bağımsız rasgele değişkenler, moment çıkaran ve karakteristik fonksiyonlar, bağımsız rasgele değişkenlerin toplamları, limit teoremleri.

Diğer Bölümlerden Alınan Servis Dersleri

MDES600 - Araştırma Metotları ve İletişim Becerileri
Araştırma planlaması ve veri toplama prensipleri ve uygulaması. Araştırma metodolojisi, deneysel tasarım, kariyer seçenekleri, profesyonel etik ve akademik tutarlılık, yazılı ve sözlü sunum teknikleri. Dersin ana konusu öğrencinin seçtiği bir konuda sistematik ve gözetim altında bir mini araştırma projesi gerçekleştirmesidir. Öğrenciler seçtiği konularda literatür taraması yapacak, deneysel tasarım içeren bir araştırma teklifi hazırlayacak, ve bir bilimsel makale formatında bir özet makale yazacaklardır. Dönem boyunca aşamalı olarak verilecek ödevler ders yapısı ve geribildirim olanağı sağlanacaktır. Her öğrenci literatür taraması ve dönem sonu makalesi için ders dışından bir okuyucu bulacaktır. Bunun dışında her öğrenci sınıftaki tartışmalara katılacak, sunumlar yapacak, CV de dahil olmak üzere bir araştırma portfolyosu oluşturacak, ve bir kişisel web sayfası oluşturacaktır.