Lisansüstü Programı Ders Listesi

Zorunlu Bölüm Dersleri

Seçmeli Dersler



Zorunlu Bölüm Dersleri

MATH 541 - Cebir
Gruplar: Faktör grubu, izomorfizma teoremleri, almaşık ve dihedral gruplar, direkt çarpım, sonlu üreteçli değişmeli gruplar, grup etkisi, Sylow teoremleri, nilpotent ve çözülebilir gruplar. Halkalar: Halka homomorfizmaları, idealler, değişmeli halkalarda çarpanlarına ayırma, bölüm halkası, temel ideal bölgesi, Öklid bölgesi, tek türlü çarpanlarına ayırma bölgesi, polinom halkalarında çarpanlarına ayırma. Modüller: Homomorfizmalar, sağın diziler, vektör uzayları, tensör çarpımları. Cisimler: Cisim genişlemeleri, Galois Teorisinin temel teoremi, parçalanış cisimleri, cebirsel kapanış, bir polinomun Galois

MATH 552 - Kompleks Analiz
Analitik fonksiyonlar, Konformal gönderimler, Komleks integrasyon, Harmonik fonksiyonlar, Seriler ve çarpımda geliştirmeler, Tam fonksiyonlar, Analitik sürdürülebilirlik, Cebirsel fonsiyonlar.

MATH 557 - Fonksiyonel Analiz
Kümeler ve Eşlemeler. Sayılabilir Kümeler. Metrik Uzayları. Tam Metrik Uzayları. Baire Kategori Teoremi. Kompaktlık. Bağıntılılk (Yekparelik) , Normlu Uzaylar, Lineer Topoljik Uzaylar, Hilbert Uzayları, Cauchy Schwartz Eşitsizliği, Lineer Operatörler, Sınırlı ve Sınırsız Operatörler, Ters Operatörler. Hahn-Banach Genişleme Teoremi, Açık eşleme ve kapalı grafik Teoremleri, Banach-Steinhaus Teoremi.

MATH 587 - Uygulamalı Matematik
Varyasyonlar Hesabı: Euler-Lagrange denklemi, birinci ve ikinci varyasyonlar, ekstrema için gerek ve yeter koşullar, Hamilton prensibi ve Sturm-Liouville problemlerine ve mekaniğe uygulamalar. İntegral Denklemler: Fredholm ve Volterra integral denklemleri, Green fonksiyonu, Hilbert-Schmidt teorisi, Neumann serisi ve Fredholm teorisi ve uygulamalar.

MATH 589 - Mezuniyet Semineri
Presentation involving current research given by graduate students and invited speakers.

MATH 598 - Tez Konusuna Yönelik Çalışmalar
Öğrencinin Tez konusundaki bilgi eksikliklerinin belirlenmesi. Eksikliklerin giderilmesi amacıyla yapılacakların (ders dinleme ve/veya anlatma, danışmanla çalışma, seminer, konferans vs. gibi etkinliklere katılım) kararlaştırılması. Eksikliklerin giderilmiş olup olmadığının Danışman tarafından uygun görülen bir yöntemle belirlenmesi.

MATH 599-1 - Yüksek Lisans Tezi
Tezli Yüksek lisans öğrencileri bu derse tez konusuna kara verdikten sonra kaydolurlar. Tez konusu, öğrenci ile bir bölüm elemanı tarafından kararlaştırılır. Tez, belirlenen alandaki mevcut sonuçların gözden geçirilmesi, özgün problemin çözümü, yazımı ve sözlü olarak savunulmasından ibaret olup öğrenci Tezin sözlü savunma sınavında başarılı olmalıdır.

MATH 599-2 - Yüksek Lisans Tezi
Tezli Yüksek lisans öğrencileri bu derse tez konusuna kara verdikten sonra ikinci dönem kaydolurlar. Tez konusu, öğrenci ile bir bölüm elemanı tarafından kararlaştırılır. Tez, belirlenen alandaki mevcut sonuçların gözden geçirilmesi, özgün problemin çözümü, yazımı ve sözlü olarak savunulmasından ibaret olup öğrenci Tezin sözlü savunma sınavında başarılı olmalıdır.

MATH 599-3 - Yüksek Lisans Tezi
Tezli Yüksek lisans öğrencileri bu derse tez konusuna kara verdikten sonra ikinci dönem kaydolurlar. Tez konusu, öğrenci ile bir bölüm elemanı tarafından kararlaştırılır. Tez, belirlenen alandaki mevcut sonuçların gözden geçirilmesi, özgün problemin çözümü, yazımı ve sözlü olarak savunulmasından ibaret olup öğrenci Tezin sözlü savunma sınavında başarılı olmalıdır.

Seçmeli Dersler

MATH 521 - Sayısal Analiz I
Matris ve vektör normları, Hata analizi, Lineer denklem sistemlerinin çözümü: Gauss eliminasyonu ve LU ayrışımı, Kondisyon sayısı, Kararlılık analizi ve hesaplama karmaşıklığı, En küçük kareler problemleri: Tekil değer ayrışımı, QR algoritması, Kararlılık analizi, Matris özdeğer problemleri, Lineer sistemler için yinelemeli yöntemler: Jacobi, Gauss-Seidel ve SOR yöntemleri, Eşlenik gradient türü yöntemler, Yakınsaklık analizi.

MATH 522 - Sayısal Analiz II
Lineer olmayan denklemler ve denklem sistemlerini için yinelemeli yöntemler, İnterpolasyon ve yaklaştırım: polinom, trigonometrik ve spline interpolasyonui, En küçük kareler ve minimax yaklaştırımı, Sayısal türev ve integrasyon: Newton-Cotes, Gauss, Romberg yöntemleri, Ekstrapolasyon, Hata analizi.

MATH 524 - Kısmi Diferansiyel Denklemler için Sonlu Fark Metodları
Sonlu fark metodu. Parabolik denklemler:açık ve kapalı metotlar, Richardson, Dufort-Frankel ve Crank-Nicolson yöntemleri. Hiperbolik denklemler: Lax-Wendroff, Crank-Nicolson, kutu ve leap-frog yöntemleri. Eliptik denklemler. Kısmi diferansiyel denklemlerin sonlu fark metotları ile sayısal çözümlerinde tutarlılık, kararlılık ve yakınsaklık.

MATH 542 - Cebirsel Sayılar Kuramı
Tamsayı, Norm ve iz fonksiyonları, Diskriminant, Cebirsel sayılar, Kuadratik sayı cismi, Dedekind bölgesi, Değerleme (valuation), Dedekind bölgesinin genişlemesinde çatallanma (ramification), different, Galois genişlemesinde çatallanma, kuadratik sayı cisimlerinde çatallanma ve aritmetik, kuadratik kalanlar kuralı, siklotomik sayı cisimlerinde çatallanma, Abelyen genişlemelerde Kronecker-Weber teoremi, Dirichlet teoremi (sınıf grubunun sonlu olması ile ilgili), Dirichlet teoremi (tersinir elemanlar ile ilgili),Hermite-Minkowski teoremi, Son Fermat teoremi

MATH 543 - Grup Teori I
Temel düzey Grup Teori’nin tekrarı, Matris grupları, Bir grubun normal kapanışı ve çekirdeği, Kümeler üzerinde grup etkisi, Permutasyon gruplarının Wreath çarpımı, Bir grubun ayrıştırılması, Seriler ve bileşim serileri, Zincir koşulları, Bazı basit gruplar, Sylow Teoremleri, Projektif özel lineer grupların Basitliği, Çözülebilir ve nilpotent gruplar, lokal sonlu gruplar, lokal nilpotent gruplar

MATH 545 - Kimlik Denetimini Sağlayan Kriptografik Algoritmalara Giriş
Kriptografinin temelleri, blok tipi algoritmalar, DES, AES yarışması, kimlik denetimi, kullanım modları, kriptografik özet fonksiyonlar, çakışma direnci, doğum günü atağı, Merkle Damgard yapısı, MD5, SHA-1, SHA-3 yarışması, Keccak, kimlik denetimi ve şifreleme, CAESAR yarışması, kriptanalizde başarı olasılıkları, LLR yöntemi, hipotez testi, rastgelelik testi.

MATH 547 - Cebirsel Geometri
Afin uzayları, Hilbert’in baz ve sıfırlama teoremleri, Zariski topoloji, indirgenemez kümeler, cebirsel varyeteler, eğriler, yüzeyler, balyalar, halkalı uzaylar, ön şema, afin şema, afin şemalar ve değişmeli halkalar arasındaki denklik, projektif varyeteler, boyut, tekil noktalar, bölenler, diferensiyeller.

MATH 555 - Bernstein polinomları
Düzgün süreklilik, düzgün yakınsaklık, Bernstein polinomları, Weierstrass yaklaşım teoremi, pozitif lineer operatörler, Popoviciu teoremi, Voronovskaya teoremi, eş zamanlı yaklaşım, şekil koruyucu özellikleri, De Casteljau algoritması, karmaşık Bernstein polinomları, Kantorovich polinomlar.

MATH 556 - Uygulamalı Fonksiyonel Analiz
Fonksiyonel analizin temel kavramları tekrarı, Hilbert uzayında kendine eş operatörlerin spektral teorisi, operatörlerin yarı-grupları  ve evrim denklemlerine uygulamaları, Banach uzaylarında optimal kontrol. 

MATH 562 - Diferansiyel Denklemler Teorisi
Başlangıç Değer Problemi: Çözümlerin varlık ve tekliği; Çözümlerin sürdürülebilirliği; Çözümlerin parametreye bağlı olarak sürekliliği ve türevlenebilirliği. Lineer sistemler; Sabit ve değişken katsayılı Lineer Homojen ve homojen olmayan Sistemler; Sabit ve periyodik katsayılı sistemlerin çözümlerinin yapısı. Yüksek basamaktan lineer diferansiyel denklemler. Sturm Teorisi, Karalılık: Lyapunov tipi Karalılık ve kKararsızlık. Lyapunov Fonksiyonları; Lyapunov'un İkinci Metodu; Yarı doğrusal sistemler; Doğrusallaştırma; Denge noktasının kararlılığı ve Otonom olmayan diferansiyel denklemler için Kararlı Manifold teoremi.

MATH 563 - Fark Denklemleri
Fark analizi, birinci mertebeden lineer fark denklemi, ikinci mertebeden lineer fark denklemi, ayrık Sturm teorisi, Green fonksiyonu, ayrık Riccati denklemi, salınım teorisi, ayrık Sturm-Liouville özdeğer problemi, yüksek mertebeden lineer fark denklemleri, fark denklem sistemleri.

MATH 564 - İmpalsif Diferansiyel Denklemler
İmpalsif diferansiyel Denklemlerin (İDD)Genel Tanımı: Matematiksel Modelin Tanımı. Sabit zaman impalslı Sistemler. Değişken zaman impalslı Sistemler. Süreksiz Dinamik sistemler. Salınıma neden olan impals. İDD’de Lineer Sistemler: Çözümlerin genel özellikleri. Çözümlerin Kararlılığı. Eşlenik Sistemler, Perron teoremi. İDD’e Lineer Hamilton sistemleri. İDD’de çözümlerin kararlılığı: birinci basamak yaklaşımına dayanan kararlılık kriteri. Değişken katsayılı impals etkisi altındaki İDD sisteminde kararlılık. Direk Lyapunov metod. Periyodik ve hemen hemen periyodik İDD sistemleri: Homojen olmayan lineer periyodik sistemler. Lineer olmayan periyodik sistemler. Hemen hemen periyodik fonksiyonlar ve diziler. Hemen hemen periyodik İDD. İDD sistemlerinde integral kümeleri: Homojen olmayan lineer sistemlerin sınırlı çözümleri. Sabit olmayan impals etkisi anlarına ve hiperbolik lineer kısma sahip yarı lineer sistemlerin integral kümeleri.

MATH 565 - Zaman Skalasında Dinamik Sistemler
Zaman skalasında diferensiyelleme. Zaman skalasında integralleme. Zaman skalasında birinci mertebeden lineer diferensiyel denklemler. Başlangıç değer problemi. Zaman skalasında üstel fonksiyonlar. Zaman skalasında ikinci mertebeden lineer diferensiyel denklemler. Sınır değer problemi. Green fonksiyonu. Sturm-Liouville özdeğer problemi.

MATH 571 - Topoloji
Topolojik uzaylar, homeomorfizmler, ve homotopi, çarpım ve bölüm topolojileri, ayırma aksiyomları, kompaktlık, bağlantılılık, metrik uzaylar ve metriklenebilirlik, örtü uzayları, temel gruplar, Euler karakteristik, yüzeylerin sınıflandırılması, yüzeylerin homolojileri, Geometri ve Analize örnek basit uygulamalar

MATH 572 - Diferansiyellenebilir Çokkatlılar
Topolojik Çokkatlılar, Diferansiyellenebilir Çokkatlılar, Teğet ve Koteğet demetler, Bir dönüşümün diferansiyeli, Vektör alanları, Altçokkatlılar, Tensörler, Diferansiyel formlar, Çokkatlılar üzerinde yönlendirme, Çokkatlılar üzerinde integral, Stoke teoremi

MATH 573 - Cebirsel Topoloji
Temel grup, örtü uzayları, singüler homoloji, hücresel homoloji, simpleksel homoloji, kohomoloji, homoloji ve kohomoloji için evrensel katsayı teoremleri, Künneth formülü, kap çarpım ve çapraz çarpım.

MATH 574 - Riemannian Geometri
Türevlenebilir manifoldların tekrarı, tensör alanları, Riemannian metrikler, Levi-Civita konveksiyonu, jeodezikler ve üstel gönderim, eğrilik tensörü, kesitsel eğrilik, Ricci tensör, sayısal eğrilik, Riemannian altmanifoldları, Gauss ve Codazzi denklemleri.

MATH 575 - Çokkatlılar üzerinde Analiz
Öklit Uzayları, Çokkatlılar, Teğet Uzayları, Vektör Alanları, Diferansiyel Formlar, Çok Katlılar Üzerinde İntegral, Stokes Teoremi

MATH 576 - Diferansiyel Topoloji
Çokkatlılar ve diferansiyellenebilir yapılar, teğet uzay, vektör demetleri, daldırmalar, altdaldırmalar, gömmeler, dik kesişim, Sard Teoremi, Whitney gömme teoremi, üstel dönüşüm ve borusal komşuluklar, sınır bileşenli çokkatlılar, Thom dik kesişim teoremi.

MATH 577 - Düşük Boyutlu Topolojiye Giriş
Düğümler, Bağlar ve Onların Değişmezleri, Seifert Yüzeyler, Örgüler, Gönderim Sınıfları Grubu, Heegaard Parçalanması, Lens Uzayları, Yüzey Homeomofizmaları, Üç Boyutlu Çokkatlıların Ameliyatı, Dallı Örtmeler

MATH 580 - Özel Çalışmalar I
Şeçilen konu ile ilgili literatür taraması yapılması. Şeçilen konu hakkında literatürdeki son gelişmelerin öğrenilmesi. Çalışma ile ilgili bir rapor hazırlanması ve sunulması.

MATH 581 - Özel Çalışmalar II
Şeçilen konu ile ilgili literatür taraması yapılması. Şeçilen konu hakkında literatürdeki son gelişmelerin öğrenilmesi. Çalışma ile ilgili bir rapor hazırlanması ve sunulması.

MATH 582 - Yaklaştırım Teorisi
Düzgün yakınsaklık, Düzgün yaklaşım, Weierstrass yaklaşım kuramları, en iyi yaklaşım, Chebyshev polinomları, süreklilik miktarı, yakınsaklık oranı, Jacksonın kuramları, pozitif doğrusal işlemciler, Korovkinin kuramı, Müntz kuramları

MATH 584 - Uygulamalı Matematikte Doğrusal olmayan Problemler
Sonlu aralıkta, doğrusal olmayan ikinci mertebeden diferansiyel denklemler için sınır değer problemleri, doğrusal olmayan sınır değer probleminin sabit nokta problemine indirgenmesi, Banach ve Schauder sabit nokta teoremlerinin uygulamaları, doğrusal olmayan fark denklemleri için sınır değer problemler, Brouwer sabit nokta teoreminin uygulaması, doğrusal olmayan sınır değer problemlerinin pozitif çözümleri.

MATH 585 - Matematiksel Modelleme
Birinci mertebeden diferansiyel denklemler ile modelleme: radyoaktiflik, büyüme ve çürüme hızı, tek-tür populasyon modelleri, ısı akışkan modeli, RL ve RC elektrik devrelerini modelleme; ikinci mertebeden DD ile modelleme: elastik bir yaya bağlı kütlenin hareketi, RLC elektrik devrelerini modelleme, difüzyon modelleri; DD sistemleri ile modelleme: çok-tür populasyon modelleri, bir elektrik ağı modeli; kısmi DD ile modelleme: titreşen sicim, titreşen zar, ısı akışı modeli.

MATH 591 - Analitik Olasılık Teorisi
Olasılığın tanımı ve temel özellikleri, koşullu olasılık ve bağımsızlık, rasgele değişkenler, olasılık dağılımları ve çeşitleri, klasik dağılımlar, momentler, rasgele vektörler, bağımsız rasgele değişkenler, moment çıkaran ve karakteristik fonksiyonlar, bağımsız rasgele değişkenlerin toplamları, limit teoremleri.